2011年11月11日金曜日

ネルソン推定量からカプラン・マイヤー推定量を導出する

本エントリは カプラン‐マイヤー推定量の手短な導出 の続き的な内容です.


準備

確率変数 $\overline{N}(t)$ は時刻 $t$ までに故障していないモノ(これから故障が起きるかもしれない集団『リスクセット』)の数の合計, $\overline{Y}(t)$ は時刻 $t$ までに起こったイベント数(故障したモノの数の合計)にそれぞれ対応していると考えることにする.
また,$f(t) - f(t-) $ を表すのに $\Delta f(t)$ と書くする.


導出

累積ハザードを
\begin{align}
\Lambda (t) &= \int^{t}_{0}\{1-F(s-)\}^{-1}dF(s),\\
(&= \int^{t}_{0}\frac{f(s)}{1-F(s-)}\, ds )
\end{align}
と定義する.これより,
\begin{eqnarray*}
d\Lambda(s) &=& \frac{dF(s)}{1-F(s-)},\\
dF(s) &=& \{1-F(s-)\}d\Lambda(s).
\end{eqnarray*}
$F(0)=0$ より,
\begin{eqnarray}
F(t) &=& \int^{t}_{0}dF(s) \nonumber\\
&=& \int^{t}_{0} \{ 1- F(s-) \}d\Lambda (s).
\tag{1}
\end{eqnarray}


$\Lambda$ の推定量,ネルソン (Nelson) 推定量 $\hat{\Lambda} = \int \overline{Y}^{-1} d\overline{N}$ は使っていいことにする.


$S$ の推定のために,$\Lambda$ のネルソン推定量 $\hat{\Lambda} = \int \overline{Y}^{-1} d\overline{N}$ を式(1)に代入する.
つまり,式(1)は
\begin{align*}
1-F(t) &= 1-\int^{t}_{0}\{1-F(s-)\}d\Lambda(s), \\
S(t) &=1- \int^{t}_{0}S(s-)d\Lambda(s),
\end{align*}
を含意するので,これに $\hat{\Lambda}$ を代入する.
$\hat{S}$ は再帰的に定義され,
\begin{eqnarray}
\hat{S}(t) = 1- \int^{t}_{0} \hat{S}(s-)d\hat{\Lambda}(s).
\end{eqnarray}
これより
\begin{align*}
\Delta \hat{S}(t) &= \hat{S}(t)-\hat{S}(t-), \\
\hat{S}(t-)-\hat{S}(t) &= -\Delta \hat{S}(t) \\
&= \hat{S}(t-) \Delta \hat{\Lambda}(t) \\
&= \hat{S}(t-) \Delta \left( \int \overline{Y}^{-1}(t) d\overline{N}(t) \right) \\
&= \hat{S}(t-) \frac{\Delta \overline{N}(t)}{\overline{Y}(t)} ,\\
\hat{S}(t) &= \hat{S}(t-)- \hat{S}(t-)\frac{\Delta \overline{N}(t)}{\overline{Y}(t)}\\
 &= \hat{S}(t-) \left\{ 1- \frac{\Delta \overline{N}(t)}{\overline{Y}(t)} \right\},
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\hat{S}(t-) &= \hat{S}((t-)-)\left\{1-\frac{\Delta \bar{N}(t-)}{\overline{Y}(t-)}\right\}, \\
\hat{S}((t-)-) &= \hat{S}(((t-)-)-)\left\{1-\frac{\Delta \bar{N}((t-)-)}{\overline{Y}((t-)-)}\right\}, \\
\vdots
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\hat{S}(t) = \prod _{s \le t} \left\{ 1- \frac{\Delta \overline{N}(s)}{\overline{Y}(s)} \right\},
\end{align*}
これで以前に紹介した Kaplan-Meier 推定量ができた.


参考文献

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